Question

9．如图，?ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在BC，CD边上，且∠EAF=∠ABC=60°．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）若BE=3，求DF的长．
（3）设△AEF的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点A作AG⊥BC，首先利用勾股定理和三角函数求出∠BAG，AG，BG，CG，其次，求出∠CAG，从而得出结论；
（2）先由勾股定理求出AG，EG，AC，再判断出△AEG∽△AFC，得出比例式代值求出FC；
（3）先判断出三角形AEF面积最小和最大时的位置，根据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）如图，

过点A作AG⊥BC，
在Rt△AGB中，∠ABC=60°，AB=4，
∴∠BAG=30°，BG=2，AG=2$\sqrt{3}$，
∵BC=8，
∴CG=BC-BG=6，
在Rt△ACG中，tan∠CAG=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴锐角∠CAG=60°，
∴∠BAC=∠BAG+∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥CD；
（2）如图，

过点A作AG⊥BC，
由（1）得，AG=2$\sqrt{3}$，BG=2，
∵BE=3，
∴EG=1，
在Rt△ACG中，AC=2AG=4$\sqrt{3}$，
由（1）得，∠CAG=∠EAG+∠CAE=60°，
∵∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，
∴∠EAG=∠CAF，
在平行四边形ABCD中，CD=AB=4，AB∥DC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACF=∠BAC=90°，
∴△AEG∽△AFC，
∴$\frac{AG}{AC}=\frac{EG}{CF}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{CF}$，
∴CF=2，
∵CD=4，
∴DF=2；
（3）∵BC＞CD，而点E在BC上，点F在CD上，
∴当点F与点C重合时，
∵∠CAG=∠EAF=60°，
∴S=S△ACG最小，
由（1）、（2）有，CG=6，AG=2$\sqrt{3}$，
∴S△ACG=$\frac{1}{2}$CG×AG=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
当点F与点D重合时，此时点E仍在BC上，此时S最大，
∴S最大=$\frac{1}{2}$×AD×AG=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
∴6$\sqrt{3}$≤S≤8$\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，垂直的判断方法，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，判断△AEG∽△AFC是解本题的关键，也是难点．