Question

12．观察下列各式：
1³=1=$\frac{1}{4}$×1²×2²；
1³+2³=9=$\frac{1}{4}$×2²×3²；
1³+2³+3³=36=$\frac{1}{4}$×3²×4²；
…
（1）猜想填空：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$×n²×（n+1）²．
（2）若1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$×240²．试求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据已给3个等式知，连续整数的立方和等于$\frac{1}{4}$×最后一整数平方×比最后一整数大1的数的平方，列式即可；
（2）利用（1）中结论，列出方程可求得n的值．

解答 解：（1）∵1³=1=$\frac{1}{4}$×1²×2²=$\frac{1}{4}$×1²×（1+1）²，
1³+2³=9=$\frac{1}{4}$×2²×3²=$\frac{1}{4}$×2²×（2+1）²，
1³+2³+3³=36=$\frac{1}{4}$×3²×4²=$\frac{1}{4}$×3²×（3+1）²，
1³+2³+3³+4³=64=$\frac{1}{4}$×4²×5²=$\frac{1}{4}$×4²×（4+1）²，
…，
∴1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²；
（2）根据题意，得：$\frac{1}{4}$×240²=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²，即n（n+1）=240，
解得：n=15或n=-16（舍）．
故答案为：（1）n，（n+1）．

点评 本题是对数字变化规律的考查，正确观察已知的式子的特点，得到规律是解决本题的关键．