Question

9．如图所示，∠ABC与∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=120°，∠D=30°，∠E=60°．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义有∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，根据三角形内角和定理得2∠2+2∠1+∠A=180°，即有∠2+∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠A，再根据三角形内角和定理得到∠2+∠1+∠BOC=180°，于是有∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即可得到∠BOC的度数，三角形外角的性质有∠FCD=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，则2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，即可得到∠D=$\frac{1}{2}$∠A，于是得到∠D，然后根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠2+2∠1+∠A=180°，
∴∠2+∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，
∴90°-$\frac{1}{2}$∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
而∠A=50°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=$\frac{1}{2}$∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵BE平分∠ABC相邻外角，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°-∠D=60°，
故答案为：120°，30°60°．

点评 本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．