Question

19．如图，已知抛物线E₁：y=x²经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E₂经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值；
（2）求抛物线E₂所表示的二次函数的表达式；
（2）在第一象限内，抛物线E₁上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（1，m）代入y=x²，求得m的值即可；
（2）设抛物线E₂的函数表达式为y=ax²（a≠0），将点B（2，2）代入抛物线的解析式求得a的值即可；
（3）当∠BB′Q=90°时，将x=2代入y=x²，可求得点Q的纵坐标，当∠BQB′=90°时，设点Q₂的坐标为（t，t²），依据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理列出关于t的方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线E₁经过点A（1，m）
∴m=1²=1
（2）∵抛物线E₂的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax²（a≠0）
又∵点B（2，2）在抛物线E₂上
∴2=a×2²，解得：a=$\frac{1}{2}$
∴抛物线E₂所对应的二次函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x²
（3）如图所示：

①当点B为直角顶点时，过B作Q₁B⊥BB′交抛物线E₁于Q，则点Q₁与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x²得y=4，
∴点Q₁的坐标为（2，4）．
②当点Q₂为直角顶点时，则有Q₂B′²+Q₂B²=B′B²，过点Q₂作GQ₂⊥BB′于G，设点Q₂的坐标为（t，t²）（t＞0），则有（t+2）²+（t²-2）²+（2-t）²+（t²-2）²=4，
整理得：t⁴-3t²=0，
∵t＞0，
∴t²-3=0，解得t₁=$\sqrt{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴点Q的坐标为（$\sqrt{3}$，3），
综上所述，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系、待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理的应用、两点间的距离公式，依据勾股定理的逆定理和两点间的距离公式列出关于t的方程是解题的关键．