Question

1．已知：如图，一次函数y=$\frac{4}{3}$x+n与x轴交于点B，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，-$\frac{8}{3}$）．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在第四象限内，以CP为腰作等腰Rt△CPQ，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C点坐标；
（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据全等三角形的判定与性质，可得PF，PQ的长，根据点的坐标的意义，可得Q点的坐标．

解答 解：（1）将（1，-$\frac{8}{3}$）代入y=$\frac{4}{3}$x+n，解得n=-4，
即y=$\frac{4}{3}$x-4，当y=0时，$\frac{4}{3}$x-4=0．
解得x=3，
即B点坐标为（3，0）；
将（1，-$\frac{8}{3}$）代入y=-$\frac{2}{3}$x+m，解得n=-2，
即y=-$\frac{2}{3}$x-2，当x=0时，y=-$\frac{2}{3}$x-2=-2．
即C点坐标为（0，-2）；
（2）连接PC，PD，
如图1，
S_△BDP=$\frac{1}{2}$（t-3）×|-$\frac{8}{3}$|=$\frac{4}{3}$（t-3）；
当y=0时，-$\frac{2}{3}$x-2=0，解得x=-3，即E点坐标为（-3，0）．
S_△CDP=S_△DPE-S_△CPE=$\frac{1}{2}$（t+3）×$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{2}$×（t+3）×|-2|=$\frac{1}{3}$（t+3）．
由△BDP和△CDP的面积相等，得
$\frac{1}{3}$（t+3）=$\frac{4}{3}$（t-3）．
解得t=5，
（3）如图2，

QF⊥x轴于F点．
由△CPQ是等腰直角三角形，得
CP=PQ，∠CPQ=90°．
∠OPC+∠PCO=90°，∠OPC+∠QPF=90°，
∴∠PCO=∠QPF．
在△CPO和△PQF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠O=∠PFQ}\\{∠PCO=∠QPF}\\{CP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△CPO≌△PQF（AAS），
∴PF=OC=2，FQ=OP=5，
Q点的横坐标为5+2=7，Q点的纵坐标为-5，
即Q（7，-5）．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出PF=OC=2，FQ=OP=5是解题关键．