Question

4．如图，AB是菱形AEBF的对角线，A（-1，0），B（7，0），P是线段AB上任意一点（不含端点A，B），过A、P两点的抛物线y₁和过P、B两点的抛物线y₂的图象开口均向上，它们的顶点分别为线段AE、BE上的C、D两点，当AE=BE=5时，这两个二次函数的最小值之和等于-3．

Answer 1

分析 由图可知，两个二次函数最小值分别为C、D两点到x轴的距离的相反数，因此只需求出C、D两点到x轴的距离即可．过C、D作x轴的垂线，垂足分别M、N，过E点作x的垂线，垂足为H，可以证明C、D两点到x轴的距离之和就等于EH，于是问题得到解决．

解答 解：如图：

过点C作CM垂直x轴于点M，过点D作DN垂直x轴于点N，过点E作EH垂直x轴于点H，过点C作CG垂EH于点G，连接CP、DP，
由抛物线对称性可知：CA=CP，DP=DB，
∵AE=EB，
∴CE=PD=BD，
从而易证△CEG与△PDN全等，
∴EG=DN，
显然CGHM是矩形，
∴CM=GH，
∴EH=CM+DN，
∵A（-1，0），B（7，0），
∴AB=8，
∴AH=HB=4，
∵AE=5，
∴EH=3，
∵C、D均在第四象限，
∴两个二次函数的最小值之和等于-3．

点评 本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的对称性、菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性、矩形的判定与性、勾股定理等众多知识点，设计巧妙，是一道好题，作为一道填空题而言，有一定难度．本题的关键在于将求两个二次函数的最小值之和转化为求两个顶点到x轴的距离之和，体现化归与转化的数学思想．