Question

9．已知关于x的一元二次方程ax²+3bx+c=0（a＞0）①．
（1）若方程①有一个正实根c，且3ac+b＜0，求b的取值范围；
（2）当a=1时，方程①与关于x的方程3x²+4bx+c=0②有一个相同的非零实根，求$\frac{5{b}^{2}-c}{5{b}^{2}+c}$的值；
（3）已知：关于x的一元一次方程kx=x+3的根为正实数，二次函数y=ax²+3bx+kc（c≠0）的图象与x轴有两个不同交点，求证：关于x的一元二次方程ax²+3bx+c=0（a＞0）①必有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）根据方程有一个正实数根c，直接代入，得：ac=-3b-1，再将其代入3ac+b＜0即可；
（2）根据两个方程有相同的实数根，联立方程组，求出相同的根，再将求出的根代入其中的一个方程，用含c的式子表示出b²，即可得解；
（3）求出方程①的根的判别式，根据ac的正负，分情况讨论证明方程①的根的判别式的值大于0即可．

解答 （1）解：把x=c代入一元二次方程ax²+3bx+c=0，
得：ac²+3bc+c=0，根据c＞0，可解得：ac=-3b-1，
∵3ac+b＜0，
∴3（-3b-1）+b＜0，解得：b＞$-\frac{3}{8}$，
∵ac＞0，
∴-3b-1＞0，解得：b＜$-\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{3}{8}＜b＜-\frac{1}{3}$．
（2）解：当a=1时，方程①为：x²+3bx+c=0，
方程①与方程②有相同的非零实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3bx+c=0}\\{3{x}^{2}+4bx+c=0}\end{array}\right.$，解得：$x=-\frac{2c}{5b}$，
把$x=-\frac{2c}{5b}$代入方程①得：$（-\frac{2c}{5b}）^{2}+3b（-\frac{2c}{5b}）+c=0$，
解得：5b²=4c，
将其代入，得：$\frac{5{b}^{2}-c}{5{b}^{2}+c}=\frac{4c-c}{4c+c}=\frac{3}{5}$．
（3）证明：方程①的判别式为△=（3b）²-4ac=9b²-4ac，
∵a＞0，c≠0，得ac≠0，
若ac＜0，则-4ac＞0，
∴△=9b²-4ac＞0，
此时方程①有两个不相等的实数根；
若ac＞0，
∵方程kx=x+3的根为正实数，则方程（k-1）x=3的根为正实数，
由x＞0，3＞0，得k-1=$\frac{3}{x}$＞0，
∵抛物线y=ax²+3bx+kc与x轴有两个不同的交点，
∴${△}_{1}=（3b）^{2}-4akc=9{b}^{2}-4akc＞0$，
∴$△-{△}_{1}=（9{b}^{2}-4ac）-（9{b}^{2}-4akc）$=4ac（k-1），
∵ac＞0，k-1＞0，
∴△-△₁=4ac（k-1）＞0，
∴△＞△₁，
∵△₁＞0，
∴△＞0，
此时方程①有两个不相等的实数根，
综上所述，方程①有两个不相等的实数根．

点评 本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，解答此题的关键在于熟练掌握根的判别式与方程的根的关系．