Question

如图，正方形ABCD中，P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE=1，求EF的长；
（2）求证：PF=EP+EB．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，然后求出∠BAE=∠DAF，再根据等角的余角相等求出∠ABE=∠ADF，再利用“角边角”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）过点A作AM⊥EF于M，根据等腰直角三角形的性质可得AM=MF=EM，根据线段中点定义可得AP=BP，然后利用“角角边”证明△AMP和△BEP全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=PM，EB=AM，然后根据PF=PM+MF等量代换即可得证．

解答：（1）解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD（对顶角相等），
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，

∠ABE=∠ADF AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AE=1，
∴EF=

2

AE=

2

×1=

2

；

（2）证明：过点A作AM⊥EF于M，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AM=MF=EM，
∵P是AB的中点，
∴AP=BP，
在△AMP和△BEP中，

∠APM=∠BPE ∠AMP=∠BEP=90° AP=BP

，
∴△AMP≌△BEP（AAS），
∴EP=PM，EB=AM，
∵PF=PM+MF，
∴PF=EP+EB．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，（2）作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．