Question

在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60°时，∠CBD 的大小为

 

；
（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20°时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小；
（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，连结DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次证明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．
（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，△ACD是等边三角形时，CD在△ABC内部时，CD在△ABC外部时，求得答案．

解答：解：（1）30°
（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．
∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=40°．
∵∠ACD=20°，
∴∠DCB=20°．
∴∠DCB=∠FCB=20°．①
∵AC=CD，AC=FC，
∴DC=FC．②
∵BC=BC，③
∴由①②③，得△DCB≌△FCB，
∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．
∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，
∴∠BAF=40°．
∵∠ACD=20°，AC=CD，
∴∠CAD=80°．
∴∠DAF=20°．
∴∠BAD=∠FAD=20°．④
∵AB=AC，AC=AF，
∴AB=AF．⑤
∵AD=AD，⑥
∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．
∴FD=BD．
∴FD=BD=FB．
∴∠DBF=60°．
∴∠CBD=30°．
（3）由（1）知道，若∠BAC=100°，α=60°时，则∠CBD=30°；
①由（1）可知，设∠α=60°时可得∠BAD=m-60°，∠ABC=∠ACB=90°-

m

2

，
∠ABD=90°-

1

2

∠BAD=120°-

m

2

，
∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°．
②由（2）可知，翻折△BDC到△BD₁C，则此时∠CBD₁=30°，
∠BCD=60°-∠ACB=

m

2

-30°，
∠α=∠ACB-∠BCD₁=∠ACB-∠BCD=90°-

m

2

-（

m

2

-30°）=120°-m，
③以C为圆心CD为半径画圆弧交BF延长线于D₂，连接CD₂，
∠CDD₂=∠CBD+∠BCD=30°+

m

2

-30°=

m

2

，
∠DCD₂=180°-2∠CDD₂=180°-m
∠α=60°+∠DCD₂=240°-m．
综上所述，α为60°或120°-m或240°-m时∠CBD=30°．

点评：本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的．