题目内容

两个全等的直角三角形ABC和DEF重合在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=∠EDF=60°，AC=DF=1．如图，固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移，直至D、B两点重合为止．在此过程中，当点D不与A、B两点重合时，可作四边形CDBF．
（1）当点D移动到AB的中点时，四边形CDBF的形状是
 
；
（2）四边形CDBF是否可能为直角梯形？是否可能为等腰梯形？若可能，请画出相应的图形，并直接写出此时的平移距离；若不可能，只需作出判断，不必说明理由．
考点：等腰梯形的判定,菱形的判定,直角梯形,平移的性质
专题：探究型
分析：（1）依据平移的性质及点D是AB中点可证到四边形CDBF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DC=DB，就可得到平行四边形CDBF是菱形．
（2）①当CD⊥AB（如图2）及BF⊥AB（如图3）时，四边形CDBF是直角梯形，只需利用特殊角的三角函数值就可求出平移的距离；②运用反证法即可证出四边形CDBF不可能是等腰梯形．
解答：解：（1）四边形CDBF是菱形．
证明：如图1，

由平移的性质可得：CF∥AD，CF=AD．
∵点D是AB的中点，
∴AD=DB．
∴CF=DB．
∵CF∥DB，CF=DB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=DB．
∴平行四边形CDBF是菱形．
故答案为：菱形．

（2）①四边形CDBF可能是直角梯形，
Ⅰ．当CD⊥AB时，四边形CDBF是直角梯形，如图2，

∵AC=1，∠A=60°，
∴AD=AC•cosA=1×
1
2
=
1
2
．
此时平移的距离是
1
2
．
Ⅱ．当BF⊥AB时，四边形CDBF是直角梯形，如图3，

∵DF=1，∠FDE=60°，
∴DB=DF•cos∠FDB=1×
1
2
=
1
2
．
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°．
∴AB=2AC=2．
∴AD=AB-DB=
3
2
．
此时平移的距离是
3
2
．
②四边形CDBF不可能是等腰梯形．

理由如下：
假设四边形CDBF是等腰梯形，
则有BC=DF．
由平移的性质可得：CF∥AD，CF=AD．
∴四边形ACFD是平行四边形．
∴AC=DF．
∴AC=BC．
∴∠A=∠ABC=45°．
与条件“∠A=60°”矛盾，故假设不成立．
所以四边形CDBF不可能是等腰梯形．
点评：本题通过图形的平移，考查了平移的性质、菱形的判定、特殊角的三角函数值、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、30°所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质等知识，考查了分类讨论、反证法等数学思想方法，考查了自主探究的能力，是一道好题．
练习册系列答案
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1
2
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B、b＞a＞c
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3
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2
；                     
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2
-
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3
＞-1
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．
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．

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