Question

11．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形ABCD，易得四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；
（2）由（1），易证得BC=ED，即可证得四边形BECD是矩形．

解答 证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{BD=EC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；

（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以及三角形的外角性质等知识．注意证得四边形BECD为平行四边形是关键．