Question

3．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？

Answer 1

分析 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA与△CPQ∽△CAB

解答 解：设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．
∵CP=BC-BP=8-2y，CB=8，CQ=y，CA=6．
∵△CPQ∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
∴$\frac{8-2y}{8}=\frac{y}{6}$
∴y=2.4
设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．
∴CP=BC-BP=8-2y．
∵△CPQ∽△CAB，
∴$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$
∴$\frac{8-2y}{6}=\frac{y}{8}$
∴y=$\frac{32}{11}$
所以，经过2.4秒或者经过$\frac{32}{11}$后两个三角形都相似

点评 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型．