Question

10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，过A作AE⊥AB交CD于E，交BC延长线于F，点E恰好是CD的一个三等分点（CE＞ED），过E作BC的平行线与AB交于点G．若EG=3，CF=2，则梯形ABCD的面积为12$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 取GB的中点H，HK∥BC，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，根据平行线的性质求出AD的长，根据梯形中位线定理求出HK、BC的长，根据勾股定理求出AM的长，根据梯形大面积公式计算得到答案．

解答 解：取GB的中点H，作HK∥BC，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∵AD∥BC，点E恰好是CD的一个三等分点，CF=2，
∴$\frac{AD}{CF}$=$\frac{DE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=1，
由梯形的中位线定理可知，HK=5，BC=7，
BM=（BC-AD）÷2=3，
∵AE⊥AB，AM⊥BC，∠AGE=∠ABM，
∴△AGE∽△MBA，
∴$\frac{AG}{BM}$=$\frac{GE}{AB}$，即$\frac{\frac{1}{3}AB}{3}$=$\frac{3}{AB}$，
解得，AB=3$\sqrt{3}$，
∴AM=3$\sqrt{2}$，
∴梯形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$×（1+7）×3$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$，
故答案为：12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是等腰梯形的性质和梯形的中位线定理，掌握梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半是解题的关键．