Question

如图，正方形ABCD中，O为边BC的中点，⊙O与AB，CD，AF，DE相切于点B，C，E，F，AB=

5

，求EF长度．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：综合题

分析：延长DE交AB于点G，延长FE交AB于点M，延长EF交DC于点N，连接OG、OE、OD，易证点E与点F、点M与点N都关于BC的中垂线对称，从而有ME=FN，MN∥BC．易证MN=BC=

5

，只需求出EM即可．可证△GEO∽△OED，从而可以求出GE的长，也就得到GE与ED的数量关系，再由△EMG∽△END可求得EM与EN的数量关系，进而得到EM与MN的数量关系，求出EM，就可求出EF的长．

解答：解：延长DE交AB于点G，延长FE交AB于点M，延长EF交DC于点N，连接OG、OE、OD，如图，
∵正方形ABCD及半圆OBC都关于BC的中垂线对称，
且半圆OBC与AB，CD，AF，DE相切于点B，C，F，E，
∴由对称性可得：点E与点F、点M与点N都关于BC的中垂线对称．
∴ME=FN，MN∥BC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AB=DC=BC=

5

．
∴四边形BCNM是平行四边形．
∴MN=BC=

5

．
∵半圆OBC与AB，CD，AF，DE相切于点B，C，F，E，
∴∠BGO=∠EGO，∠EDO=∠CDO，DE=DC=

5

．
∵AB∥DC，
∴∠BGE+∠CDE=180°．
∴2∠EGO+2∠EDO=180°．
∴∠EGO+∠EDO=90°．
∵半圆OBC与DE相切于点E，
∴OE⊥DG．
∴∠GEO=∠OED=90°．
∴∠EGO+∠EOG=90°．
∴∠EOG=∠EDO．
∴△GEO∽△OED．
∴

EG

EO

=

OE

ED

．
∴EG=

OE2

ED

=

( 5 2 )2

5

=

5

4

．
∴EG=

1

4

DE．
∵AB∥DC，
∴△EMG∽△END．
∴

EM

EN

=

EG

ED

=

1

4

．
∴EM=

1

5

MN=

5

5

．
∴FN=EM=

5

5

．
∴EF=MN-EM-FN=

3 5

5

．
∴EF长度为

3 5

5

．

点评：本题考查了轴对称的性质、正方形的性质、切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，利用轴对称及相似三角形的性质是解决本题的关键．