Question

4．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0）、C（4，4），线段CA的延长线上有一点M，使四边形ABOM的面积与三角形ABC的面积相等，则M的坐标为（-2，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 先过点C作CD⊥x轴与D，过点M作ME⊥AO于E，根据待定系数法求得直线AC解析式，再根据四边形ABOM的面积与三角形ABC的面积相等，求得点M的横坐标，最后根据直线解析式求得M的纵坐标即可．

解答 解：过点C作CD⊥x轴与D，过点M作ME⊥AO于E，
设直线AC解析式为y=kx+b，
∵A（0，3）、C（4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{4=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x+3
∵A（0，3）、B（3，0）、C（4，4），
∴AO=3，BO=3，OD=4，CD=4，
∴四边形ABOM的面积
=△AOM的面积+△AOB的面积
=$\frac{1}{2}$×3×（ME+3）
=$\frac{3}{2}$（ME+3），
△ABC的面积
=梯形AODC的面积-△AOB的面积-△BCD的面积
=$\frac{（3+4）×4}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×4
=14-$\frac{9}{2}$-2
=$\frac{15}{2}$，
∵四边形ABOM的面积与三角形ABC的面积相等，
∴$\frac{3}{2}$（ME+3）=$\frac{15}{2}$，
∴ME=2，即M的横坐标为-2，
当x=-2时，y=$\frac{1}{4}$×（-2）+3=$\frac{5}{2}$，
∴M（-2，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查了三角形的面积以及坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握待定系数法以及三角形的面积计算公式，解题时注意方程思想运用．