题目内容
已知，如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．（1）求证：BC=BD；
（2）若AB=8，CD=4
| 3 |
考点：垂径定理,勾股定理
专题：
分析：（1）直接证明
=
，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OE=2，AE=6，BE=2；此为解题的关键；运用射影定理即可解决问题．
 |
| BC |
|
| BD |
（2）如图，作辅助线；求出OE=2，AE=6，BE=2；此为解题的关键；运用射影定理即可解决问题．
解答：
解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴
=
，
∴BC=BD．
（2）如图，连接OD；
∵直径AB⊥CD，AB=8，
∴DE=CE=2
，OD=4，
由勾股定理得：
OE2=OD2-DE2，
∴OE=2，AE=6，BE=2；
由射影定理得：
BD2=BE•AB，AD2=AE•AB，
∴BD=4，AD=4
，
∴BC=BD=4，AD=4
．
解：（1）∵直径AB⊥CD，∴
|
| BC |
|
| BD |
∴BC=BD．
（2）如图，连接OD；
∵直径AB⊥CD，AB=8，
∴DE=CE=2
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由勾股定理得：
OE2=OD2-DE2，
∴OE=2，AE=6，BE=2；
由射影定理得：
BD2=BE•AB，AD2=AE•AB，
∴BD=4，AD=4
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∴BC=BD=4，AD=4
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点评：该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
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