Question

11．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为6cm，面积是27cm²，D为BC边长的中点．
（1）作腰AB的垂直平分线EF交AB于E，交AC于F（尺规作图，保留痕迹．不写作法）：
（2）P为（1）中线段EF上的一个动点，求△PBD的最短周长．

Answer 1

分析 （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BP+PD的最小值，由此即可得出△PBD的最短周长．

解答 解：（1）作图如下：

（2）如图，

连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×AD=27，解得AD=9cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BP+PD的最小值，
∴△BDP的周长最短=（BP+PD）+BD=AD+$\frac{1}{2}$BC=9+$\frac{1}{2}$×6=12cm．

点评 本题主要考查了作图-复杂作图，等腰三角形及中垂线的性质，解题的关键是正确作出图形．