Question

12．在△ABC中，己知AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且BD=CE，∠FDE=∠B，
（1）说明△BFD与△CDE全等的理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△DEF是等边三角形吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用AB=AC得到∠B=∠C，再利用三角形外角性质证明∠EDC=∠BFD，然后根据“AAS”证明△BDF≌△CED；
（2）根据等边三角形的性质得∠B=60°，再利用全等的性质得DF=ED，加上∠FDE=∠B=60°，然后根据等边三角形的判定方法可判断△DEF是等边三角形．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠FDC=∠B+∠BFD，
而∠FDE=∠B，
∴∠EDC=∠BFD，
在△BDF和△CED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠CDE}\\{∠B=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CED；
（2）解：△DEF是等边三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°
∵△BDF≌△CED，
∴DF=ED，
∵∠FDE=∠B=60°，
∴△DEF是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的判定与性质．