Question

17．如图，直线y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，α），点B（2，n）是反比例函数图象上一点，连接OB．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）求△OAB的面积；
（3）设点P（m，0），若△PAB的面积为2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，a）代入直线y=2x，就可得到点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式可得到k，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，就可求出点B的坐标；
（2）延长AB交x轴于点C，如图1，运用待定系数法可求出直线AB的解析式，从而可求出点C的坐标，然后运用割补法就可解决问题；
（3）运用割补法可求出PC的值，结合点C的坐标就可求出m的值．

解答 解：（1）∵点A（1，a）在直线y=2x上，
∴a=2×1=2，A（1，2）．
∵A（1，2）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×2=2，y=$\frac{2}{x}$．
∵点B（2，n）是反比例函数y=$\frac{2}{x}$图象上，
∴n=$\frac{2}{2}$=1，B（2，1）；

（2）延长AB交x轴于点C，如图1，

设直线AB的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+3．
∵点C是直线y=-x+3与x轴的交点，
∴点C的坐标为（3，0），OC=3，
∴S_△OAB=S_△OAC-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$；

（3）如图2，

∵S_△PAB=2，
∴S_△PAB=S_△PAC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$×PC×2-$\frac{1}{2}$×PC×1=$\frac{1}{2}$PC=2，
∴PC=4．
∵C（3，0），P（m，0），
∴$|\begin{array}{l}{m-3}\end{array}|$=4，
∴m=-1或7．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线及反比例函数的解析式、运用割补法求三角形的面积等知识，运用割补法是解决本题的关键，需要注意的是线段的长度确定，点的坐标未必确定．