Question

2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点D为该抛物线的顶点，设点E（m，0）（m＞2），如果△BDE和△CDE的面积相等，求E点坐标．

Answer 1

分析 （1）把点B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后由函数解析式和对称轴公式写出对称轴；
（2）由（1）中抛物线解析式求得点B、D的坐标，结合三角形的面积公式得到DE∥BC，所以结合直线上点的坐标特征进行解答即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
故抛物线的表达式为：y=x²-x-2，对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$；

（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
则点B（2，0），点D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
若△BDE和△CDE的面积相等，则DE∥BC，
则直线BC的解析式为y=x-2，
∴直线DP的解析式为y=x-$\frac{11}{4}$，
当y=0时，m=$\frac{11}{4}$，
∴E（$\frac{11}{4}$，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：学会通过解方程ax²+bx+c=0得到二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标．（2）中解题的突破口是利用面积相等转化为直线平行．