Question

20．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形DFEC和BCGH是正方形．试问：线段
AC，EG有怎样的关系？并加以证明．

Answer 1

分析 先证∠CGE+∠GCA=90°，我们发现∠GBA+∠ACB=90°，因此证明∠CGE=∠ACB就是问题的关键，我们可通过证明三角形ABC和ECG全等来实现．

解答 解：AC=EG，AC⊥EG；理由如下：
∵四边形BCGH、EFDC为正方形，四边形ABCD为平行四边形，
∴GC∥BH，DC∥AB，∠HBC=∠ECD=90°，
∴∠HBA=∠GCD（两边分别平行的两角相等或互补），
∴∠HBC+∠HBA=∠GCD+∠ECD，即90°+∠HBA=∠GCD+90°，
∴∠GCE=∠ABC，
∴AB=DC=EC，BC=CG，
在△ABC和和△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=EC}&{\;}\\{∠ABC=∠GCE}&{\;}\\{BC=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ECG（SAS），
∴∠CGE=∠ACB，AC=EG，
∵∠ACB+∠GCA=90°，
∴∠CGE+∠GCA=90°，
∴AC⊥EG．

点评 本题主要考查了正方形、平行四边形的性质，通过全等三角形来得出角相等是解题的关键．