如图1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A.过抛物线上点C(4.8)作CD⊥x轴于点D.连接OC.AB．(1)求抛物线的解析式,(2)将△OCD沿x轴以一个单位每秒的速度向右平移.记时间为t.在△OCD运动过程中.CD与AB交于点E.OC与AB交于点F.记y为△CEF与△ADE的面积之和．求y关于t的函数关系式.并求y的最小值,(3)如图2.M为AC的中点.点N的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（10，0），与y轴交于B（0，5），过抛物线上点C（4，8）作CD⊥x轴于点D，连接OC、AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OCD沿x轴以一个单位每秒的速度向右平移，记时间为t（0≤t≤6），在△OCD运动过程中，CD与AB交于点E，OC与AB交于点F，记y为△CEF与△ADE的面积之和．求y关于t的函数关系式，并求y的最小值；
（3）如图2，M为AC的中点，点N的坐标为（n，0）试在线段OC上找一点P，使得∠MPN=∠COA，若这样的点P有两个，求n的取值范围．

分析（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值，从而得出问题答案；
（2）由锐角三角函数的定义可证明∠BAO=∠OCD，然后依据三角形的内角和定理可证明∠CFE=∠EDA=90°，接下来，解直角△EDA和直角△CEF可求得：AD、DE、EF、FC的长，然后依据三角形的面积公式可得到y与t的关系式，最后求得抛物线的顶点坐标可得到y的最小值；
（3）先依据勾股定理求得OC和AC的长，于是得到AC=OA，依据等腰三角形的性质可得到∠COA=∠OCA，接下来结合条件∠MPN=∠COA，可证明∠ONP=∠PPM，于是可证明△CPM∽△ONP，设OP=x，则PC=4$\sqrt{5}$-x，依据相似三角形的性质可得到关于x的方程，最后依据一元二次方程根的判别式可求得n的取值范围．

解答解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
将点A、B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{100a+10b+c=0}\\{16a+4b+c=8}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{5}{24}$，b=$\frac{19}{12}$，c=5．
抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{24}$x²+$\frac{19}{12}$x+5．
（2）如图1所示：

∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，tan∠OCD=$\frac{OD}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAO=∠OCD．
又∵∠CEF=∠DEA，
∴∠CFE=∠EDA=90°．
∵AD=6-t，tan∠EAD=$\frac{1}{2}$，
∴DE=3-$\frac{1}{2}$t．
∴CE=8-（3-$\frac{1}{2}$t）=5+$\frac{1}{2}$t．
∴CF=2$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$t．
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（6-t）²+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$t）²，即y=$\frac{3}{10}{t}^{2}$-2t+14．
当t=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{10}{3}$时，y有最小值，
此时y=$\frac{3}{10}$×$（\frac{10}{3}）$²-2×$\frac{10}{3}$+14=$\frac{32}{3}$．
∴y的最小值为$\frac{32}{3}$．
（3）如图2所示；

在Rt△ODC中，OC=$\sqrt{O{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵在Rt△CDA中，AD=6，DC=8，由勾股定理得：AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∴AC=OA．
∴∠COA=∠OCA．
∵M是CA的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=5．
∵∠MPN=∠COA，∠COA+∠ONP=∠MPN+∠CPM，
∴∠ONP=∠CPM．
∴△CPM∽△ONP．
∴$\frac{OP}{CM}=\frac{ON}{CP}$．
设OP=x，则PC=4$\sqrt{5}$-x．
∴$\frac{x}{5}=\frac{n}{4\sqrt{5}-x}$．
整理得：x²-4$\sqrt{5}$x+5n=0．
∵符合条件的点P有两个，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴△=（-4$\sqrt{5}$）²-4×5n＞0．
∴n＜4．
又∵点N在原点的右侧，
∴n的取值范围是0＜n＜4．