Question

2．将偶数2、4、6、8、10…按下列规律进行排列：首先将这些数从“2”开始每隔一数取出，形成一列数：2、6、10、14…；然后在剩下的数4、8、12、16…中从第一个数“4”开始每隔一数取出，形成第二列数：4、12、20、28、…；照此下去，第三行的数由剩下的8、16、24、32、…中从第一个数“8”开始每隔一数取出，形成第三行数：8、24、40、56…；如此一直继续下去，我们可以排成一张数表（如图所示）．
（1）数表中的42、72分别位于第几行第几列？
（2）请你用含m、n的代数式表示数表中第m行第n列的数字；
（3）现用一个正方形框去围出相邻两行中的4个数字，能否围出4个数字的和是2016？若能，请求出这4个数字；若不能，请说明理由．

2	6	10	14	…
4	12	20	28	…
8	23	40	56	…
16	48	80	112	…
…	…	…	…	…

Answer 1

分析 （1）由表中数据可知，每个数均为底数为2的幂与连续奇数的积，据此可得；
（2）根据（1）中规律可知，第m行第n列的数字为2^m（2n-1）；
（3）由（2）中规律及每个数正下方的数是该数的两倍可得这四个数分别为2^m（2n-1）、2^m（2n+1）、2×2^m（2n-1）、2×2^m（2n+1），再根据和为2016化简可得2^m+2•n=2⁵×21，据此求得m、n的值，从而得出答案．

解答 解：（1）∵42=2¹×（2×11-1），72=2³×（2×5-1）
∴42位于第1行第11列，72位于第3行第5列；

（2）由（1）可知，第m行第n列的数字为2^m（2n-1）；

（3）设圈出的四个数中左上的数字为2^m（2n-1），则右上的数字为2^m（2n+1），
由图形可知，下方的两个数分别是2×2^m（2n-1），2×2^m（2n+1），
由题意知，2^m（2n-1）+2^m（2n+1）+2×2^m（2n-1）+2×2^m（2n+1）=2016，
即2^m（2n-1）+2^m（2n+1）=$\frac{2016}{3}$，
2^m+2•n=672，
2^m+2•n=2⁵×21，
∴m=3，n=21，
故存在围出4个数字的和是2016，
四个数依次为：2^m（2n-1）=8×41=328，2^m（2n+1）=8×43=344，2×2^m（2n-1）=656，2×2^m（2n+1）=688．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据表中数据得出第m行第n列的数字为2^m（2n-1）是解题的关键．