Question

19．定义：既有外接圆，又有内切圆的凸多边形叫做双圆多边形．如图1，⊙O₁是△ABC外接圆，⊙O₂是△ABC的内切圆，则△ABC就是双圆三角形．
（1）请写出一个双圆四边形的名你正方形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是双圆四边形，其内切圆与四条边相切于点E，F，G，H，且EG是内切圆的直径，交弦FH于点P，连接EF，FG．
①当∠FGE=40°时，求∠BFE的度数；
②求证：HF⊥GE．

Answer 1

分析 （1）正方形既有外接圆，又有内切圆，所以正方形是双圆四边形；
（2）①如图2中，作直径FM，连接EM，首先证明∠EMF=∠EFB，于∠EMF=∠EGF，可得∠EFB=∠EGF=40°．
②如图3中，连接HG．首先证明∠DGH+∠EFB=90°，由①可知，∠EFB=∠EGF，∠DGH=∠HFG，即可推出∠EGF+∠HFG=90°，由此即可证明．

解答 解：（1）正方形既有外接圆，又有内切圆，所以正方形是双圆四边形，
故答案为正方形．

（2）①如图2中，作直径FM，连接EM，

∵FM是直径，
∴∠MEF=90°，
∴∠EMF+∠MFE=90°，
∵BF是切线，
∴MF⊥BF，
∴∠MFB=90°，
∴∠MFE+∠EFB=90°，
∴∠EMF=∠EFB，
∵∠EMF=∠EGF，
∴∠EFB=∠EGF=40°．

②如图3中，连接HG．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠B=180°，
∵H、G、F、E是切点，
∴DG=DH，BF=BE，
∴∠DHG=∠DGH，∠BEF=∠BFE，
∴∠D+2∠DGH=180°，∠B+2∠EFB=180°，
∴2∠DGH+2∠EFB=180°，
∴∠DGH+∠EFB=90°，
由①可知，∠EFB=∠EGF，∠DGH=∠HFG，
∴∠EGF+∠HFG=90°，
∴∠GPE=90°，
∴HF⊥GE．

点评 本题考查圆综合题、直径的性质、圆周角定理、切线长定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．