Question

1．如图，AB是⊙O的直径，AB=6，点M在⊙O上，∠MBA=20°，N是$\widehat{MA}$的中点，P是直径AB上的一动点，若AN=1，则△PMN周长的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 作N关于AB的对称点N′，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．

解答 解：过N作NN′⊥AB，交AB于G，交⊙O于N′，连接MN′交AB于P′，连接NN′，ON′，ON，MN，P′N，
∴NG=N′G，
∴N、N′关于AB对称，
∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，
∵N是弧MB的中点，
∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，
∴∠MON′=60°，
∴△MON′为等边三角形，
∴MN′=OM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴△PMN周长的最小值为3+1=4．
故选：B．

点评 本题考查的是轴对称-最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．