Question

12．如图：正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点．
（1）求证：△ADQ∽△QCP；
（2）已知∠QPC=55°，求∠QAD的度数．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD中，BP=3PC，Q是CD的中点，易得CP：DQ=CQ：DA=1：2，∠C=∠D=90°，继而证得△ADQ∽△QCP；
（2）由△ADQ∽△QCP，根据相似的对应角相等，求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠C=∠D=90°，
∵BP=3PC，Q是CD的中点，
∴CP=$\frac{1}{4}$BC，CQ=DQ=$\frac{1}{2}$CD，
∴CP：DQ=CQ：DA=1：2，
∴△ADQ∽△QCP；

（2）解：∵∠C=90°，∠QPC=55°，
∴∠CQP=90°-∠QPC=35°，
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠QAD=CQP=35°．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意有两边对应成比例且夹角相等三角形相似．