Question

6．已知：如图所示，⊙O中，△ABC为内接三角形，AD是⊙O的直径．CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于F，求证：AC²=AF•AB．

Answer 1

分析 因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接CD；利用同角的余角相等，可得∠ACF=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠D，证得∠B=∠ACF，又因为∠CAB是公共角，即可证得△ACF∽△ABC；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AC²=AF•AB．

解答 证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACF+∠DCF=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠D，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠ACF，
∵∠CAF=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC，
∴AC：AB=AF：AC，
∴AC²=AF•AB．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质与圆的性质．解此题的关键是掌握辅助线的作法，在圆中，构造直径所对的角是直角是常见辅助线，同学们应注意掌握．