Question

15．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C．
（1）如图①，当点B₁在线段BA延长线上时．①求证：BB₁∥CA₁；②求△AB₁C的面积；
（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F₁，求线段EF₁长度的最大值与最小值的差．

Answer 1

分析 （1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F₁，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F₁，得出最大和最小值解答即可．

解答 解：（1）①证明：∵AB=AC，B₁C=BC，
∴∠AB₁C=∠B，∠B=∠ACB，
∵∠AB₁C=∠ACB（旋转角相等），
∴∠B₁CA₁=∠AB₁C，
∴BB₁∥CA₁；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：

∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，AB=5，
∴BF=3，
∴BC=6，
∴B₁C=BC=6，
∵CE⊥AB，
∴BE=B₁E=$\frac{3}{5}×6=\frac{18}{5}$，
∴BB₁=$\frac{36}{5}$，CE=$\frac{4}{5}×6=\frac{24}{5}$，
∴AB₁=$\frac{36}{5}-5=\frac{11}{5}$，
∴△AB₁C的面积为：$\frac{1}{2}×\frac{11}{5}×\frac{24}{5}=\frac{132}{25}$；

（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F₁，EF₁有最小值，


此时在Rt△BFC中，CF=$\frac{24}{5}$，
∴CF₁=$\frac{24}{5}$，
∴EF₁的最小值为$\frac{24}{5}-3=\frac{9}{5}$；
如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F₁，EF₁有最大值；
此时EF₁=EC+CF₁=3+6=9，
∴线段EF₁的最大值与最小值的差为$9-\frac{9}{5}=\frac{36}{5}$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答．