Question

11．如图，在矩形ABCD中，DG⊥AC，垂足为G．
（1）△ADG与△ACD、△CDG与△CAD相似吗？为什么？
（2）若AG=6，CG=12，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）运用有两对对应角的三角形相似可得证；
（2）运用（1）中的三角形相似得比例中项：AD²=AG•AC，CD²=CG•AC，求出矩形的长和宽，进而求出矩形的面积．

解答 解：（1）△ADG∽△ACD、△CDG∽△CAD；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=∠DGC=90°，
∴∠ADC=∠AGD，
又∠A=∠A，
∴△ADG∽△ACD，
同理可得：△CDG∽△CAD；
（2）∵△ADG∽△ACD，
∴AD²=AG•AC，
∵△CDG∽△CAD，
∴CD²=CG•AC，
∵AG=6，CG=12，
∴AC=18，
∴AD=6$\sqrt{3}$，CD=6$\sqrt{6}$，
∴S矩形ABCD=AD×CD=6$\sqrt{3}$×6$\sqrt{6}$=108$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及面积的计算，建立数学模型，熟悉此图形中的比例中项是解决此类问题的关键．