Question

顶点为（-

1

2

，-

17

4

）的抛物线与y轴交于点A（0，-4），E（0，b）（b＞-4）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于B、C两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）①如图，当b=0时，求证：E是线段BC的中点．
②当b≠0时，E还是线段BC的中点吗？请说明理由．
（3）是否存在这样的b，使∠BOC是直角？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）因为知道抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线的解析式为：y=a(x+

1

2

)2-

17

4

，把A点的坐标代入求出a的值即可求出抛物线的解析式；
（2）①分别过点B、C作BM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，当b=0时，直线BC为y=x，此时点E与点O重合，联立直线和抛物线的解析式可求出B，C点的坐标，进而得到BM=CN=2，再通过证明△BME∽△CNE，由相似三角形的性质可得：BE：CE=BM：CN，故BE=CE；②当b≠0时，E还是线段BC的中点，分别过点B、C作BP⊥y轴于点P，CQ⊥y轴于点Q，其他过程同①；
（3）存在这样的b，使∠BOC是直角，过点C作CF⊥y轴于点F，因为为BC的中点，所以当OE=

1

2

BC=CE时，△BOC是直角三角形．由（2）可知：CF=

b+4

，FO=

b+4

+b，又OE=|b|，EF=

b+4

．所以CE=

2

•

b+4

=

2b+8

．即

2b+8

=|b|，进而可求出b的值，

解答：（1）解：据题意可设抛物线的解析式为y=a(x+

1

2

)2-

17

4

．
把x=0，y=-4代入，得-4=a(0+

1

2

)2-

17

4

，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x+

1

2

)2-

17

4

=x2+x-4．

（2）①证明：分别过点B、C作BM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N．（如图1）
当b=0时，直线BC为y=x，此时点E与点O重合．
由方程组

y=x y=x2+x-4

，
得

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

．
则B、C的坐标分别为（2，2）、（-2，-2），
即BM=CN=2．
又BM⊥y轴，CN⊥y轴，
∴BM∥CN，
∴△BME∽△CNE，
即BE：CE=BM：CN，
故BE=CE．
②解：E还是线段BC的中点．理由如下：
如图2，分别过点B、C作BP⊥y轴于点P，CQ⊥y轴于点Q．
由方程组

y=x+b y=x2+x-4

，
得

x1= b+4 y1= b+4 +b

，

x2=- b+4 y2=- b+4 +b

．
则B、C的坐标分别为(

b+4

，

b+4

+b)、(-

b+4

，-

b+4

+b)．
即BP=CQ=

b+4

．
同样可得△BPE∽△CQE，
即BE：CE=BP：CQ，
故BE=CE．

（3）解：存在这样的b．理由如下：如图3
∵E为BC的中点，
∴当OE=

1

2

BC=CE时，△BOC是直角三角形．
过点C作CF⊥y轴于点F，
由上可知CF=

b+4

，FO=

b+4

+b，
又OE=|b|，EF=

b+4

．
因此，CE=

2

•

b+4

=

2b+8

．
即

2b+8

=|b|，
解得b₁=4，b₂=-2．
故当b=4或-2时，∠BOC是直角．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和想以及解二元二次方程组，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．