Question

8．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，线段MN在BC边上沿BC方向运动（运动开始时，点M与点B重合，点N到达点C时运动终止），MN=1，分别过点M、N分别作BC的垂线，与折线B→A→C交于P、Q两点，设线段BM的长为x．
（1）线段MN在运动的过程中，当PM=QN时，求x值；
（2）线段MN在运动的过程中，PM+QN=y，请用含x的式子表示y，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰直角三角形得出PM=BM，QN=CN，再利用线段的和差和PM=QN即可得出x；
（2）分三种情况讨论计算，①点P，Q都在AB上，②点P在AB上，点Q在AC上，③点P，Q都在AC上，利用等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMB=∠QNC=90°，
在Rt△PMB中，PM=BM，
同理：QN=CN，
∵PM=QN，
∴BM=CN，
∵BC=4，MN=1，
∴BC=BM+MN+CN=2BM+MN=4，
∴BM=$\frac{1}{2}$（4-MN）=$\frac{3}{2}$，
∴x=$\frac{3}{2}$；


（2）①、如图2，在等腰直角三角形ABC中，BC=4，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵MN=1，
∴BM＜1
当0≤x≤1时，
在Rt△OMB中，∠ABC=45°，
∴PM=BM=x，
在Rt△QNB中，QN=BN=BM+MN=x+1，
∴y=PM+QN=x+x+1=2x+1，

②、如图3，当1＜x＜2时，同①得，PM=BM=x，
在Rt△QNC中，QN=CN，
∵BC=BM+MN+CN，
∴QN=CN=BC-BM-MN=4-x-1=3-x，
∴y=PM+QN=x+3-x=3；


③、如图4，当2≤x≤3时，
∵BC=4，BM=x，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵MN=1，
∴CN=CM-MN=4-x-1=3-x，
在Rt△PMC中，PM=CM=4-x，
同理：QN=CN=3-x，
∴y=PM+QN=4-x+3-x=7-2x；
即：y=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1（0≤x≤1）}\\{3（1＜x＜2）}\\{7-2x（2≤x≤3）}\end{array}\right.$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段的和差，解本题的关键是用x表示出PM，QN；是一道比较简单的综合题目．