Question

17．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央竖一根垂直于水面的水管，顶端安装一个喷头向外喷水，设计方案中，如图1所示．OA表示水管，喷头A离水面的高度为2.25米，水流在各个方向上沿抛物线路径落下．在图2所示的平面直角坐标系中，曲线APB表示落点B离原点O最远的一条水流，其上的水珠的高度y（米）与水面距离x（米）的函数关系式为y=-x²+4x+$\frac{9}{4}$．

（1）水流APB上的水珠离水面的最大高度是多少米？
（2）如果不考虑其他因素．那么水池的半径至少为多少米？才能使喷出的水流都落在水池内？

Answer 1

分析 （1）将解析式配方成顶点式可得函数的最值情况；
（2）令y=0求出x的值可得答案．

解答 解：（1）∵y=-x²+4x+$\frac{9}{4}$=-（x-2）²+$\frac{25}{4}$，
∴当x=2时，y_最大=$\frac{25}{4}$，
答：水流APB上的水珠离水面的最大高度是$\frac{25}{4}$米；

（2）令y=0得-x²+4x+$\frac{9}{4}$=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$（舍）或x=$\frac{9}{2}$，
答：水池的半径至少为$\frac{9}{2}$米，才能使喷出的水流都落在水池内．

点评 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的顶点式及抛物线与坐标轴的交点是解题的关键．