Question

7．读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为$\sum_{n=1}^{100}$n，这里“$\sum$”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为$\sum_{n=1}^{50}{（2n-1）；}$又如“1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+10³”可表示为$\sum_{n=1}^{10}{n^3}$，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）
用求和符号可表示为$\sum_{n=1}^{50}2n$；
（2）求$\sum_{n=1}^{10}$n的值
（3）求$\sum_{n=1}^{20}{\frac{1}{n（n+1）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）2+4+6+8+10+…+100表示从2开始的100以内50个的连续偶数的和，由通项公式为2n，n从1到50的连续偶数的和，根据题中的新定义用求和符号表示即可．
（2）（3）根据题中的新定义将原式变形，利用拆项法整理即可得到结果．

解答 解：（1）2+4+6+8+10+…+100=$\sum_{n=1}^{50}2n$；
（2）$\sum_{n=1}^{10}$n=1+2+3+…+10=55；
（3）$\sum_{n=1}^{20}{\frac{1}{n（n+1）}}$=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{19×20}=\frac{19}{20}$，
故答案为：$\sum_{n=1}^{50}2n$

点评 此题属于新定义的题型，解答此类题的方法为：认真阅读题中的材料，理解求和符号的定义，进而找出其中的规律．