Question

12．如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC边上的点，且AE=DF，△ADF可看作是由△BAE绕着某一点旋转而来的．
（1）请画出旋转中心，并简要说明理由；
（2）设AF与BE交于点K，连接CK，若AE=2，AB=6，求CK的长．

Answer 1

分析 （1）如图，对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，AB、AD的垂直平分线的交点即为旋转中心，即对角线的交点O为旋转中心．
（2）如图2中，作KM⊥AB于M，KN⊥BC于N．想办法求出KN、CN即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，AB、AD的垂直平分线的交点即为旋转中心，即对角线的交点O为旋转中心．


（2）如图2中，作KM⊥AB于M，KN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠BAE=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠D}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AKB=90°，
∴AF⊥BE，
∴$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$•BE•AK，
∴AK=$\frac{AB•AE}{BE}$=$\frac{12}{2\sqrt{10}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$，BK=$\sqrt{A{B}^{2}-A{K}^{2}}$=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$，
∵KM∥AE，
∴$\frac{KM}{AE}$=$\frac{BK}{BE}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴KM=$\frac{9}{5}$，BK=$\frac{27}{5}$，
在Rt△KNC中，∵KN=BM=$\frac{27}{5}$，CN=BC-BN=6-$\frac{9}{5}$=$\frac{21}{5}$，
∴CK=$\sqrt{K{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{27}{5}）^{2}+（\frac{21}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$$\sqrt{130}$．

点评 本题考查正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．