Question

5．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，tanB=$\frac{4}{3}$，⊙O₁以AB为直径，⊙O₂以CD为直径，且⊙O₁与⊙O₂相切，求AD的长．

Answer 1

分析 过点A做AE⊥BC于点E，连接O₁O₂交AE于点F，则O₁O₂∥BC，通过解直角三角形可求出AE、BE的长度，再根据“AD∥BC，DC⊥BC，AE⊥BC，O₁O₂∥BC”即可得出四边形AECD、AFO₂D均为矩形，根据矩形的性质可得出CD的长度，进而可得出O₁O₂的长度，由矩形的性质以及线段间的关系即可得出AD=FO₂=6，此题得解．

解答 解：过点A做AE⊥BC于点E，连接O₁O₂交AE于点F，则O₁O₂∥BC，如图所示．
在Rt△AEB中，AB=10，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴AE=8，BE=6．
∵AD∥BC，DC⊥BC，AE⊥BC，O₁O₂∥BC，
∴四边形AECD、AFO₂D均为矩形，
∴CD=AE=8，AD=FO₂，
∴O₁O₂=$\frac{1}{2}$（AB+CD）=9．
∵O₁O₂∥BC，点O₁为AB的中点，
∴O₁F=$\frac{1}{2}$BE=3，FO₂=O₁O₂-O₁F=9-3=6．
∴AD的长度为6．

点评 本题考查了圆与圆的位置关系、梯形、解直角三角形以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形结合矩形的性质找出CD的长度是解题的关键．