Question

11．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设抛物线上的一个动点P的横坐标为t（0＜t＜0），过点P作PD⊥BC于点D．
①求线段PD的长的最大值；②当BD=2CD时，求t的值；
（3）若点Q是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点M，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①过P作PN⊥x轴于点N，交BC于点E，如图1，先利用待定系数法求出直线BC解析式为y=-x+3，设点P的坐标为（t，-t²+2t+3），则E（t，-t+3），所以PE=-t²+3t，再判定△PDE为等腰直角三角形得到PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$PE，所以PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（-t²+3t），然后就利用二次函数的性质解决问题；
②过D作DG⊥x轴于点G，如图2，通过证明△BOC∽△BGD，利用相似比可求出DG=2，则点D的纵坐标为2，于是利用二次函数解析式可确定D点坐标，接着求出直线PD解析式为y=x+1，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可得到P点坐标，从而得到t的值；
（3）讨论：当四边形BQCM为平行四边形或四边形BCQM为平行四边形或四边形BCMQ为平行四边形，然后利用平行四边形的性质和点的平移坐标规律确定M点的横坐标，再利用二次函数解析式确定M点的纵坐．

解答 解：（1）设抛物线所对应的函数关系式为y=ax²+bx+c
将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\\ c=3\end{array}\right.$
∴抛物线所对应的函数关系式为y=-x²+2x+3；
（2）①过P作PN⊥x轴于点N，交BC于点E，如图1，
设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
设点P的坐标为（t，-t²+2t+3），则E（t，-t+3），
∴PE=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°
∵PD⊥BC，
∴∠PED=45°，
∴△PDE为等腰直角三角形，
∴PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（-t²+3t）=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$${（t-\frac{3}{2}）^2}+$$\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，PD的最大值为$\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$；
②过D作DG⊥x轴于点G，如图2，则DG∥OC
∴△BOC∽△BGD，
∴$\frac{DG}{OC}=\frac{BD}{BC}$，
∵BD=2CD
∴BD：BC=2：3，
∴DG=$\frac{2}{3}$OC=2，
∴点D的纵坐标为2，
把y=2代入y=-x+3得x=1，
∴D点坐标为（1，2），
设直线PD解析式为y=x+b
把D（1，2）代入上式得2=1+b，解得b=1
∴直线PD解析式为y=x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴P（2，3），
即当BD=2CD时，t的值为2；
（3）当四边形BQCM为平行四边形时，点Q向左平移1个单位可得到C点，则点B向左平移1个单位得到M点，
即M点的横坐标为2，当x=2时，y=-x²+2x+3=3，此时M点的坐标为（2，3）；
当四边形BCQM为平行四边形时，点C向右平移1个单位可得到Q点，则点B向右平移1个单位可得到M点，
即M点的横坐标为4，当x=4时，y=-x²+2x+3=-5，此时M点的坐标为（4，-5）；
当四边形BCMQ为平行四边形时，点B向左平移2个单位可得到Q点，则点C向左平移2个单位得到M点，
即M点的横坐标为-1，当x=-2时，y=-x²+2x+3=-5，此时M点的坐标为（-2，-5），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，3），（4，-5），（-2，-5）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比求线段的长；理解坐标与图形性质，掌握点的平移的坐标规律；会利用分类讨论的思想解决数学问题．