Question

若抛物线y=ax²+c是由y=ax²向下平移4个单位而得到的，且该抛物线与直线y=-2x+1交于点（-1，m）
（1）求抛物线y=ax²+c的解析式，并写出它的对称轴，顶点坐标及最值；
（2）求（1）中的抛物线与直线y=2x+1的交点坐标AB两点（点A在B点的左侧），并求出顶点C与AB构成的三角形的面积．
（3）求出（1）中抛物线与x轴的交点坐标．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）先由上加下减的平移规律得出c=-4，再将点（-1，m）代入y=-2x+1求出m=3，将点（-1，3）代入y=ax²-4，求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）解方程组

y=2x+1 y=7x2-4

，求出A（-

5

7

，-

3

7

），B（1，3）．设直线y=2x+1与y轴的交点为D，则D（0，1），根据△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积即可求解；
（3）将y=0代入y=7x²-4，解方程求出x的值，进而得到（1）中抛物线与x轴的交点坐标．

解答：解：（1）∵y=ax²向下平移4个单位得到y=ax²-4，
而抛物线y=ax²+c是由y=ax²向下平移4个单位而得到的，
∴c=-4．
将点（-1，m）代入y=-2x+1，得m=-2×（-1）+1=3，
将点（-1，3）代入y=ax²-4，得3=a×（-1）²-4，解得a=7，
∴抛物线y=ax²+c的解析式为y=7x²-4，
∴对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-4），有最小值-4；

（2）由

y=2x+1 y=7x2-4

，解得

x1=- 5 7 y1=- 3 7

，

x2=1 y2=3

，
∵点A在B点的左侧，
∴A（-

5

7

，-

3

7

），B（1，3）．
设直线y=2x+1与y轴的交点为D，则D（0，1）．
∵C（0，-4），
∴△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积
=

1

2

×5×

5

7

+

1

2

×5×1
=5；

（3）∵y=7x²-4，
∴当y=0时，7x²-4=0，
解得x=±

2 7

7

，
∴（1）中抛物线与x轴的交点坐标为（

2 7

7

，0），-

2 7

7

，0）．

点评：此题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．