Question

19．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．
（1）求证：∠DAE=∠DCG．
（2）求线段HE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明：∠DAE=∠DCG，只要证明△GDC≌△EDA即可；
（2）由S_△AGC=$\frac{1}{2}$•AG•DC=$\frac{1}{2}$•GC•AH，求出AH，根据EH=AH=AE计算即可；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，
∴DG=DE，DC=DA，∠ADE=∠GDC=90°
在△GDC和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{∠GDC=∠EDA}\\{DC=DA}\end{array}\right.$，
∴△GDC≌△EDA，
∴∠DCG=∠DAE，

（2）解：∵△GDC≌△EDA，AD=3，DE=1，
∴GC=AE=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，
∴∠DCG+∠HEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AH⊥GC，
∵S_△AGC=$\frac{1}{2}$•AG•DC=$\frac{1}{2}$•GC•AH，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×AH，
∴AH=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$，
∴EH=AH-AE=$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．