Question

14．“低碳环保”已经成为一种生活理念，同时也带来无限商机．某高科技发展公司投资2000万元成功研制出一种市场需求量较大的低碳高科技产品．已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为z（万元）．（年获利=年销售额-生产成本-投资）
（1）试写出z与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，到第一年年底，当z取最大值时，销售单价x定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？
（3）若该公司计划到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）依题意当销售单价定为x元时，年销售量减少$\frac{1}{10}$（x-100），则易求y与x之间的函数关系式，进而由题意易得Z与x之间的函数关系．
（2）把z与x的关系式化简，得出当x=170时，z取最大值；即可得出公司是盈利了还是亏损；
（3）根据z=（30-$\frac{1}{10}$x）（x-40）-310=-$\frac{1}{10}$x²+34x-1510=1130进而得出当120≤x≤220时，z≥1130画出图象得出即可．

解答 解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少$\frac{1}{10}$（x-100）万件，
∴y=20-$\frac{1}{10}$（x-100）=-$\frac{1}{10}$x+30，
即y与x之间的函数关系式是y=-$\frac{1}{10}$x+30．
由题意得：
z=y（x-40）-2000
=（30-$\frac{1}{10}$x）（x-40）-2000
=-$\frac{1}{10}$x²+34x-3200，
即z与x之间的函数关系是z=-$\frac{1}{10}$x²+34x-3200．

（2）∵z=-$\frac{1}{10}$x²+34x-3200，
=-$\frac{1}{10}$（x-170）²-310．
∴当x=170时，z取最大值，为-310，
即当销售单价为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．

（3）第二年的销售单价定为x元时，年获利为：
z=（30-$\frac{1}{10}$x）（x-40）-310=-$\frac{1}{10}$x²+34x-1510．
当z=1130时，即1130=-$\frac{1}{10}$x²+34x-1510，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函数z=-$\frac{1}{10}$x²+34x-1510的图象大致如图所示，

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．
故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．

点评 本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法以及二次函数图象等知识，根据已知得出z与x之间的函数关系是解题关键．