Question

17．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将一块含45°角的直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB交于点C，D，在图1中，点G是CD与OP的交点，且PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD，求：△POD与△PDG的面积之比；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA、OB分别交于点C、E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图2中作出图形，并求OP的长．

Answer 1

分析 （1）先判定△POD∽△PDG，然后根据相似三角形的性质和已知条件就可以求出△POD与△PDG的面积比；
（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上时；②当C在OA延长线上时，分别根据相似三角形的性质以及全等三角形的性质进行求解．

解答 解：（1）如图1，过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，则∠HPN=90°，
∴∠HPC+∠CPN=90°，
∵∠CPN+∠NPD=90°，
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PH=PN，
又∵∠PHC=∠PND=90°，
∴△PCH≌△PDN，
∴PC=PD，
∴∠PDG=45°，
∵∠POD=45°，
∴∠PDG=∠POD，
∵∠GPD=∠DPO，
∴△POD∽△PDG，
∴$\frac{{S}_{△POD}}{{S}_{△PDG}}$=（$\frac{PD}{PG}$）²=$\frac{4}{3}$；

（2）分两种情况：
①如图，若PC与边OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO，
当△PDE∽△OCD时，∠CDO=∠PED，
∴CE=CD，
∵CO⊥ED，
∴OE=OD，
∴OP=$\frac{1}{2}$ED=OD=1；
②如图，若PC与边OA的反向延长线相交，
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
∵∠PED＞∠EDC，
当△PDE∽△ODC时，∠PDE=∠ODC，
∵∠OEC=∠PED，
∴∠PDE=∠HCP，
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND，
∴HC=ND，PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠PDO=∠PCH=22.5°，
∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°，
∴OP=OC．
设OP=x，则OH=ON=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴HC=DN=OD-ON=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵HC=HO+OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+x，
∴1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+x，
∴x=$\sqrt{2}$-1，
即OP=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点的综合应用，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键．