Question

16．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于点F．
（1）求证：PC=PE；
（2）若PD=DE，求证：BP=BC；
（3）如图2把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，∠BAP与∠DCE有何数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）欲证明PC=PE，只要证明△ADP≌△CDP即可．
（2）只要证明∠BPC=∠BCP即可．
（3）结论：∠BAP=∠DCE，只要证明△PCE是等边三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDP
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE．            

（2）证明：四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠CDE=90°，
∴∠E+∠DFE=90°，
∵PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
由（1）知△ADP≌△CDP，
∴∠PAD=∠PCD，
∴∠PCD=∠E，∵∠PFC=∠DFE，
∴∠PCD+∠PFC=∠E+∠DFE=90°，
∴∠CPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°，
∵PD=DE，
∴∠DPE=∠E，
∴∠DPE=∠PCD，
∵∠BCP+∠PCD=90°，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC．                              

（3）∠BAP=∠DCE，
∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴AB=BC，∠ABP=∠PBC，∠BAD=∠BCD，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{∠ABP=∠CBP}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∴∠PAD=∠PCD
∵PA=PE，
∴PC=PE，∠PAE=∠PEA，
∴∠PEA=∠PCD，
∵∠EFC=∠CPE+∠PCD=∠CDE+∠PEA，
∴∠CPE=∠CDE，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠PCE=60°，
∴∠BCP=∠DCE，
∴∠BAP=∠DCE．

点评 本题考查四边形综合题、正方形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．