Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，M是BC的中点，DE⊥AM于点E，且AB、BC的长是一元二次方程x²-7x+12=0的两根，求△DEM的面积．

Answer 1

分析 先求出方程的解，求出AB、BC，根据勾股定理求出AM，证△DEA∽△ABM，得出比例式，求出DE和AE，即可求出答案．

解答 解：解方程x²-7x+12=0得：x=3或4，
∵AB＜BC，AB、BC的长是一元二次方程x²-7x+12=0的两根，
∴AB=3，BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，M为BC的中点，
∴AD=BC=4，BM=CM=2，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠B=90°，
∴△DEA∽△ABM，
∴$\frac{AD}{AM}$=$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AE}{BM}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{13}}$=$\frac{DE}{3}$=$\frac{AE}{2}$，
解得：DE=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，AE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∴EM=AM-AE=$\sqrt{13}$-$\frac{8\sqrt{13}}{13}$=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，
∴△DEM的面积为$\frac{1}{2}$×DE×EM=$\frac{1}{2}$×$\frac{12\sqrt{13}}{13}$×$\frac{5\sqrt{13}}{13}$=$\frac{30}{13}$．

点评 本题考查了解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，能求出DE、AM的长是解此题的关键．