Question

3．问题：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．
若∠A=80°，则∠BEC=130°；若∠A=n°，则∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$n°．
探究：
（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=60°+$\frac{2}{3}$n°；
（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC=$\frac{1}{2}$n°；
（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，则∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$n°．

Answer 1

分析 试题分析：问题：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可．
探究：（1）根据三角形内角和定理和三等分角的意义求解即可．
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC与∠E的关系．
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答 解：问题：如图1，∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB（角平分线的定义），
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
若∠A=80°，则∠BEC=130°；若∠A=n°，则∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$n°．

探究：（1）如图2，
∵线段BD、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC=$\frac{2}{3}$∠ABC；
又∵线段CD、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB=$\frac{2}{3}$∠ACB；
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-∠A），
∴∠BEC=180°-$\frac{2}{3}$（180°-∠A）=60°+∠A，
若∠A=n°，则∠BEC=60°+$\frac{2}{3}$n°；

（2）如图3，
∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠EBC，
∵∠ACM是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠ACE-∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A+∠EBC-∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A；
若∠A=n°，则∠BEC=$\frac{1}{2}$n°；

（3）如图4，
∵∠EBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）
=180°-$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB）=90°-∠A=90°-$\frac{1}{2}$n°．
故答案为问题：130°；90°+$\frac{1}{2}$n°；探究：（1）$60°+\frac{2}{3}n°$；（2）$\frac{1}{2}$n°；（3）90°-$\frac{1}{2}$n°．

点评 本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．