Question

9．利用完全平方公式，可以将多项式ax²+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）²+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项ax²+bx+c式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x²+11x+24=x²+11x+（$\frac{11}{2}$）²-（$\frac{11}{2}$）²+24=（x+$\frac{11}{2}$）²-$\frac{25}{4}$=（x+$\frac{11}{2}$+$\frac{5}{2}$）（x+$\frac{11}{2}$-$\frac{5}{2}$）=（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将多项式x²-3x-10化成（x+m）²+n的形式；
（2）用配方法及平方差公式对多项式x²-3x-10进行分解因式；
（3）求证：不论x，y取任何实数，多项式x²+y²-2x-4y+16的值总为正数．

Answer 1

分析 （1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得x²-3x-10=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{4}$，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据配方法把x²+y²-2x-4y+16变形成（x-1）²+（y-2）²+11，再根据平方的非负性，可得答案．

解答 （1）解：x²-3x-10
=x²-3x+（$\frac{3}{2}$）²-（$\frac{3}{2}$）²-10
=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{4}$；

（2）解：x²-3x-10
=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{4}$
=（x-$\frac{3}{2}$）²-（$\frac{7}{2}$）²
=（x+2）（x-5）；

（3）证明：x²+y²-2x-4y+16
=（x²-2x+1）+（y²-4y+4）+11
=（x-1）²+（y-2）²+11≥11，
故x，y取任何实数时，多项式x²+y²-2x-4y+16的值总为正数．

点评 本题考查了配方法的应用，利用完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²配方是解题关键．也考查了平方差公式．