Question

3．如图，四边形ABCD中，两对角线相交于E，且E为对角线BD的中点，∠DAE=30°，∠BCE=120°．若CE=1，BC=2，则AC的长为6．

Answer 1

分析 如图，延长BC交AD的延长线于F，在AE上取一点K，使得EK=CE，连接DK、BK．由四边形CDKB是平行四边形，推出DK=BC=2，DK∥BF，由∠ACB=120°，推出∠FCA=180°-120°=60°，由∠DAC=30°，推出∠F=90°，∠ADK=∠F=90°，由∠DAK=30°，推出AK=2DK=4，由此即可解决问题．

解答 解：如图，延长BC交AD的延长线于F，在AE上取一点K，使得EK=CE，连接DK、BK．

∵DE=BE，EK=CE，
∴四边形CDKB是平行四边形，
∴DK=BC=2，DK∥BF，
∵∠ACB=120°，
∴∠FCA=180°-120°=60°，
∵∠DAC=30°，
∴∠F=90°，
∵DK∥BF，
∴∠ADK=∠F=90°，∵∠DAK=30°，
∴AK=2DK=4，
∴AC=AK+EK+CE=4+1+1=6，
故答案为6．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．