Question

20．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，下列四个结论：
①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠-1）；③关于x的一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0没有实数根；④ak⁴+bk²＜a（k²+1）²+b（k²+1）（k为常数）．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据对称轴列式，得b=2a，由图象可知：左交点的横坐标大于-3，当x=-3时，y＜0，代入可得结论正确；
②开口向下，则顶点坐标的纵坐标是最大值，那么y=am²+bm+c＜a-b+c，化简可得结论不正确；
③计算△的值作判断；
④比较k²与k²+1的值，根据当x＞-1时，y随x的增大而减小，由图象得出结论．

解答 解：①因为二次函数的对称轴是直线x=-1，由图象可得左交点的横坐标大于-3，小于-2，
所以-$\frac{b}{2a}$=-1，
b=2a，
当x=-3时，y＜0，
即9a-3b+c＜0，
9a-6a+c＜0，
3a+c＜0，
∵a＜0，
∴4a+c＜0，
所以此选项结论正确；
②∵抛物线的对称轴是直线x=-1，
∴y=a-b+c的值最大，
即把x=m（m≠-1）代入得：y=am²+bm+c＜a-b+c，
∴am²+bm＜a-b，
m（am+b）+b＜a，
所以此选项结论不正确；
③ax²+（b-1）x+c=0，
△=（b-1）²-4ac，
∵a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（b-1）²≥0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0有实数根；
④由图象得：当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵当k为常数时，0≤k²≤k²+1，
∴当x=k²的值大于x=k²+1的函数值，
即ak⁴+bk²+c＞a（k²+1）²+b（k²+1）+c，
ak⁴+bk²＞a（k²+1）²+b（k²+1），
所以此选项结论不正确；
所以正确结论的个数是1个，
故选D．

点评 本题考查二次函数与系数关系，在解题时，注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴，特殊点的关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．