Question

15．如图，已知直线AB：y=k₁x-2（k₁≠0）与x轴交于点C，与双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂≠0）交于点A、B，其中B点坐标为（m，-4），tan∠OCB=$\frac{2}{3}$．
（1）求直线AB和双曲线的表达式；
（2）连接AO，BO，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠OCB=$\frac{2}{3}$，求得C的坐标和B的坐标，然后运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算；

解答 解：由直线AB：y=k₁x-2（k₁≠0）可知D（0，-2），
∴OD=2，
∵tan∠OCB=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∴OC=3，
∴C（-3，0），
代入y=k₁x-2得：-3k₁-2=0，
解得k₁=-$\frac{2}{3}$，
∴直线AB为：y=-$\frac{2}{3}$x-2；
∵B（m，-4），tan∠OCB=$\frac{2}{3}$．
∴BE=4，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CE=6，
∴OE=3，
∴B（3，-4），
∵B点在反比例函数的图象上，
∴k₂=3×（-4）=-12．
∴双曲线的表达式为y=-$\frac{12}{x}$．
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{12}{x}}\\{y=-\frac{2}{3}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-6}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$，
∴A（-6，2），
∵C（-3，0），
∴OC=3．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×4=8．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的比例系数，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．