Question

4．如图，⊙O的半径OA=5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC=BC
（1）求∠A的度数．
（2）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠B=∠BOC，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）根据锐角三角函数的定义求出AC及BC的长，进而可得出结论．

解答 解：（1）连接OB，
∵AO=OB，OC=BC，
∴∠A=∠B=∠BOC．
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°．
∵∠A+∠B+∠BOC+∠AOC=180°，
∴3∠A+90°=180°，
∴∠A=30°；

（2）∵∠A=30°，OA=5cm，
∴AC=$\frac{OA}{cos30°}$=$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$cm，
BC=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$cm，
∴AB=AC+BC=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$=5$\sqrt{3}$（cm）．

点评 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．