Question

7．已知函数y=x²-4x+1．
（1）利用配方法求函数的对称轴，顶点坐标和最小值；
（2）设函数图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）加4再减4，化成完全平方，得y=（x-2）²-3，分别写出对称轴，顶点坐标和最小值；
（2）由根据与系数的关系先计算：x₁+x₂=4，x₁x₂=1，再将x₁²+x₂²进行变形为（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入计算即可．

解答 解：（1）∵y=x²-4x+1=x²-4x+4-4+1=（x-2）²-3，
∴当x=2时，y最小值=3，
对称轴为x=2，顶点为（2，-3）；
（2）由题意，x₁，x₂是方程x²-4x+1=0的两根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4²-2×1=14．

点评 本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，利用顶点式可以表示二次函数的对称轴、顶点坐标和最值：二次函数y=a（x-h）²+k中，①当a＞0时，对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k），因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=h时，y有最小值是k；②当a＜0时，对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k），因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=h时，y有最大值是k；求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；反之，知道交点坐标，可由根与系数关系计算代数式的值，如第（2）问．