Question

8．数学活动：
折纸、画图与探究：
问题情境：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，折叠矩形纸片ABCD，使B落在边AD（不与A重合）上，落点记为E，这是折痕与边CD或者边BC（含端点）交于点F，与边AB或者边AD（含端点）交于点G，然后展开铺平，则四边形BFEG称为矩形ABCD的“折痕四边形”．

操作探究：
（1）如图1，当点E在图1的位置时，请作出此时的“折痕四边形”BFEG（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），此时，图1中的等腰三角形有△BFE、△BGE；
（2）在折叠矩形的过程中，借助图2探究：
当点E是AD的中点时，折痕四边形BFEG的边EG的长为$\frac{61}{12}$；
当AE=6时，折痕四边形BFEG是正方形；
当AE取值范围是6＜AE≤10时，折痕四边形BFEG是非正方形的菱形；
（3）在折叠矩形的过程中，当点F在线段CD上时，如图3，设AE的长度为x，折痕四边形BFEG的面积是y，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据尺规作图的一般步骤作图，根据翻折变换的性质得到等腰三角形；
（2）根据折叠的性质、勾股定理和正方形的性质求出AE；根据菱形的判定和性质求出AE的取值范围；
（3）设EG=BG=m，根据题意和全等三角形的判定和性质求出y与x的函数关系式．

解答 解：（1）如图1，四边形BFEG是所求作的折痕四边形，
由折叠的性质可知在：△BFE、△BGE是等腰三角形；

（2）如图2，∵点E是AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=5，
由折叠的性质，BG=EG，
设EG=x，则BG=x，AG=6-x，
由勾股定理得，AG²+AE²=EG²，
即（6-x）²+25=x²，
解得，x=$\frac{61}{12}$，即EG=$\frac{61}{12}$；
当折痕四边形BFEG是正方形时，
BG=EG，BG⊥EG，
∴点G与点A重合，
∴AE=AB=6；
如图3，当AE＞6时，
由题意得，GB=GE，FE=FB，∠BGF=∠EGF，
∵AD∥BC，
∴∠EGF=∠GFB，
∴∠BGF=∠GFB，
∴BG=BF，
∴BG=GE=EF=FG，
∴四边形BFEG是菱形，
∴当6＜AE≤10时，四边形BFEG是菱形；
故答案为：$\frac{61}{12}$；6；6＜AE≤10；
（3）如图1，∵点B的对称点是点E，
∴EG=BG，
设EG=BG=m，则AG=6-m，
由勾股定理得，m²=x²+（6-m）²，
化简得，m=$\frac{1}{12}$x²+3，
∵点B与点E关于直线GC对称，
∴△BFG≌△EFG，
∴四边形BFEG的面积=2×△BFG的面积，
即S=2×（$\frac{1}{12}$x²+3）×10=$\frac{5}{6}$x²+30，（0＜x≤2）．

点评 本题考查的是矩形的性质、翻折变换的性质和函数解析式的确定，掌握翻折变换的性质：对应边相等、对应角相等是解题的关键．